เนื้อหา(ต่อ)

                โจทย์ปัญหาในคณิตศาสตร์บางเรื่องสามารถแก้ได้โดยใช้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว เช่น ปัญหาเกี่ยวกับจำนวน ความยาว พื้นที่ และปริมาตร

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการ มีขั้นตอนของแนวคิดและวิธีทำดังแผนภูมิต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1  ให้ผลคูณของจำนวนคู่จำนวนหนึ่งกับจำนวนคู่อีกจำนวนหนึ่งที่อยู่ถัดไปเป็น 168 จงหาจำนวนคู่ทั้งสองจำนวนนั้น

วิธีทำ       ให้ x แทนจำนวนคู่ที่เป็นจำนวนน้อยกว่า

                จะได้ จำนวนคู่ที่ถัดขึ้นไปเป็น x + 2

                เนื่องจากผลคูณของสองจำนวนนี่คือ 168

                จะได้สมการเป็น    x(x + 2)                = 168   

                                         x² + 2x – 168       = 0      

                                        (x + 14)(x - 12)     = 0

ตรวจสอบ               เนื่องจากจำนวนคู่ที่โจทย์กำหนดให้เป็นได้ทั้งจำนวนคู่บวกและจำนวนคู่ลบ คำตอบจึงอาจมีได้ 2 แบบ ดังนี้

                                1) ถ้าให้ 12 เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า จะได้จำนวนคู่บวกที่ถัดขึ้นไปเป็น 12 + 2 = 14

                                ผลคูณของ 12 และ 14 เป็น 12 × 14 = 168

                            ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขโจทย์

                            2) ถ้าให้ -14 เป็นจำนวนคู่ลบที่น้อยกว่า จะได้จำนวนคู่ลบที่ถัดขึ้นไปเป็น -14 + 2 = -12

                            ผลคูณของ -14 และ -12 เป็น (-14)(-12) = 168

                              ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขโจทย์

ตอบ        จำนวนคู่ลบคือ -14 และ -12

                จำนวนคู่บวกคือ 12 และ 14

ตัวอย่างที่ 2  ผลบวกของสองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งกับครึ่งหนึ่งของจำนวนนั้น เมื่อคูณด้วยจำนวนนั้นแล้ว จะได้จำนวนเท่าเดิมจงหาจำนวนนั้น

   
ตัวอย่างที่ 3  จำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่า 5 ถ้ากำลังสองของผลต่างของจำนวนนั้นกับ 5 เท่ากับสิบเท่าของผลต่างของจำนวนจำนวนนั้นกับ 5 จงหาจำนวนจำนวนนั้น

วิธีทำ       ให้ x แทนจำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่า 5

                จะได้กำลังสองของผลต่างของ x กับ 5 เป็น (x - 5)²

              และสิบเท่าของผลต่างของ x กับ 5 เป็น 10(x - 5)

                จะได้สมการเป็น    (x - 5)²                                = 10(x - 5)                 

                                         x² - 10x + 25                      = 10x - 50      

                                         x² - 10x -10x + 25 + 50     = 0     

                                         x² - 20x + 75                     = 0

                                         (x -15)(x - 5)                     = 0

ดังนั้น     x - 15    = 0       หรือ         x - 5     = 0        

จะได้      x          = 0       หรือ         x          = 0                  

ตรวจสอบ                เนื่องจากโจทย์กำหนดให้จำนวนที่ต้องการหานั้นมากกว่า 5

                                ดังนั้น ค่า x ที่เท่ากับ 5 จึงไม่ใช่จำนวนที่ต้องการหา

                            ถ้าจำนวนจำนวนนั้นคือ 15

                            จะได้ (15 - 5)² = 10  และ 10(15 - 5) = 10²

                                ดังนั้น (15 - 5)² = 10(15 - 5) ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์

                            นั่นคือ จำนวนนั้นคือ 15      

ตอบ   x = 15

ตัวอย่างที่ 4  รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีความยาวรอบรูป 20 เซนติเมตร มีพื้นที่ 24 ตารางเซนติเมตร จงหาความยาวของแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

วิธีทำ       ให้ด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปนี้ยาว x เซนติเมตร

                เนื่องจาก ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็น 20 เซนติเมตร

              ดังนั้น ความยาวของอีกด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้เท่ากับ  = 10 - x

                เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 24 ตารางเซนติเมตร

                จะได้สมการเป็น    x(10 - x)            = 24                            

                                         10x - x²             = 24                 

                                          x² - 10x + 24     = 0      

                                         (x - 4)(x - 6)       = 0

ดังนั้น     x - 4     = 0       หรือ         x - 6     = 0

จะได้      x          = 4       หรือ         x           = 6

ตรวจสอบ              1) ถ้าให้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมีด้านหนึ่งยาว 4 เซนติเมตร จะได้อีกด้านหนึ่งยาว
                                    = 6 เซนติเมตร

และได้พื้นที่เป็น 4 × 6 = 24  ตารางเซนติเมตร

ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์

                           2) ถ้าให้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมีด้านหนึ่งยาว 6 เซนติเมตร จะได้อีกด้านหนึ่งยาว
                                = 4 เซนติเมตร

 และได้พื้นที่เป็น 6 × 4 = 24 ตารางเซนติเมตร

 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์

                            นั่นคือ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 4 เซนติเมตร และยาว 6 เซนติเมตร

ตอบ   กว้าง 4 เซนติเมตร และยาว 6 เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 5  รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 13 เซนติเมตร ความยาวของด้านประกอบมุมฉากต่างกัน 7 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปนี้

วิธีทำ       ให้ด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งเป็น x เซนติเมตร

                ความยาวของด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งเป็น x + 7 เซนติเมตร

            เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากมีความยาว 13 เซนติเมตร

            จากสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้สมการเป็น

                                         x² + (x + 7)²                              = 13²    

                                    x² + x² + 14x + 49                    = 169

                                    2x² + 14x - 120                         = 0

                                    x² + 7x - 60                               = 0

                                    (x - 5)(x + 12)                            = 0

ดังนั้น     x - 5     = 0       หรือ         x + 12   = 0

จะได้      x          = 5       หรือ         x          = -12

ตรวจสอบ               เนื่องจาก x แทนความยาวของด้านซึ่งจะต้องเป็นจำนวนบวก

                                ดังนั้น -12 จึงไม่ใช่ความยาวของด้าน

ถ้าให้ความยาวของด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งเป็น 5 เซนติเมตร

ความยาวของด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งจะเป็น 5 + 7 = 12 เซนติเมตร

จะได้ผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากเป็น  5² + 12² = 25 + 144 = 169

                                เนื่องจาก 169 = 13²

ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมรูปนี้ยาว 13 เซนติเมตร

ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์

                        นั่นคือ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีฐานยาว 5 เซนติเมตร และสูง 12 เซนติเมตร

                        ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้คือ  (5 × 12) = 30 ตารางเซนติเมตร

ตอบ   30 ตารางเซนติเมตร









ที่มาข้อมูล : สสวท กระทรวงศึกษาธิการ 2544 หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2